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a500: pF 進制轉換
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最近更新 : 2021-01-05 21:49

內容

當一個數用x進位（{\displaystyle x>0,x\in \mathbb {R} }）表達時，每個位數需要x種符號表達，若要表達一個n位數字要儲存的元素{\displaystyle N(x)} ：

{\displaystyle N(x)=nx}

而x進制系統中表示的n位數的資訊量I（{\displaystyle I>x}）則有：

{\displaystyle I=x^{n}\Leftrightarrow n=\log _{x}I={\frac {\ln I}{\ln x}}}

因此，在x進制系統中以n位數能表示I的信息量所需的存儲元質數{\displaystyle N(x)}為：

{\displaystyle N(x)=nx=\ln I\cdot {\frac {x}{\ln x}}}

在

{\displaystyle {\begin{cases}N^{\prime }(x)<0&0<x<1\\N^{\prime }(x)>0&x>1\end{cases}}}

之下，求出哪個x能使{\displaystyle N(x)}最小即可， 即找到能使{\displaystyle N(x)}微分為0的x。

{\displaystyle {\begin{aligned}N^{\prime }(x)&=\ln I\cdot \left({\frac {x}{\ln x}}\right)^{\prime }\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-1}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}
在{\displaystyle \ln x=1}時{\displaystyle N^{\prime }(x)}有根{\displaystyle N^{\prime }(x)=0}，
解得{\displaystyle x=e}

因此解得以e為底的進位制理論上能有最高的表達效率。

 

 

 

現在簡化一下，因為e進制有一點難實踐，我們只要做出進制轉換就行了，進制轉換的規則如下

此處以10進位與8進位轉換為例 

395(10) = 613(8)
395 / 8 = 49 餘數 3 ↑ => 613(8)
 49 / 8 =  6 餘數 1 |
  6 / 8 =  0 餘數 6 |

另外亦可由8進位轉10進位

26(8) = 22(10)

26(8)=(2 * 81) + (6 * 80) = 22(10)

 

輸入說明

單筆輸出入

輸入有三個數 $n, a, b$

其中n為a進制下的數

b為欲轉換的目標進制

保證 $2 < a, b \le 10$

$n > 0$

且 $n_{(a)}$在10進制下在int範圍內 

輸出說明

輸出一個數代表$n_{(a)}$在$n_{(b)}$下的表示

範例輸入 
第一筆範例輸入：
395 10 8
第二筆範例輸入：
26 8 10
範例輸出 
第一筆範例輸出：
613
第二筆範例輸出：
22
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提示 ：

對$10 \%$ 數據$a = b$

對$20 \%$ 數據$a = 10$

對$20 \%$ 數據$b = 10$

其餘無特殊限制

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出處:
109學年度初階班上學期期末考 [管理者：
fdhs109_31813 (9th 初階教學)
]

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